“可视化”呈现思维过程，助推“策略”体悟

——“解决问题的策略（一一列举）”教学实践与思考

常州市新北区奔牛实验小学  张剑峰

“解决问题的策略（一一列举）”这一内容是苏教版《义务教育教科书·数学》五年级上册94～95页的内容。本课教学目标是1.利用现实的问题情境引发列举活动，引导学生会在表格里有序地一一列举，初步体会列举策略。2.积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，增强分析问题的条理性和严密性。教学的难点在于理解问题，能根据不同实际问题的特点，通过合乎逻辑的思考，有序列举出符合要求的各种情况。

为让学生初步体会列举是解决问题的一种有效方法，教材设计的教学线索包括“理解题意、构思解法——填表列举、找到答案——回顾过程、体会方法——联系过去、感悟策略”等几个主要环节。围绕学习线索，立足教学目标达成，在教学设计过程中我力图体现以下三个方面：1.合理选择典型且富有变化的实际问题，引导学生逐步体会列举策略的意义；2.借助数字化学习平台，丰富“可视化”操作活动，帮助学生体验列举过程与特点；3.借助学习软件，还原学习思维过程，为不同层次的学生解决问题提供适当的问题铺垫，实现差异化的学习进程，激发学生探索的兴趣。

本课数字化学习手段的应用，主要借助自制软件，突出表现在三方面，一是学习平台提供可重复实验的素材，减少学习素材的准备时间；二是提供“可视化”学习记录、思考过程，同步录频聚焦对学习思维过程的分析；三是提供个性化学习内容，实施差异的个性学习，教师精确了解学情，推送相关问题实施学习巩固。数字化学习手段的合理运用，使学生的学习过程及思维过程得以有效的记录和重现，从而为教师更好地组织开展有意义的学习活动提供有效支撑。基于上述分析和对学生的了解，我设计了如下的教学过程。

教学过程：

一、游戏导入，体验操作

师：在上课之前，介绍一款动画软件给大家来玩一玩。这是一款用小棒围长方形的动画软件，我们用手指轻轻的在平板上向右滑动，小棒会自动排列，围成长方形。如果感觉长或宽长了，还可以退回几根。每次滑动手指，软件还会给我们提示小棒的根数呢！看，一个长方形就围成了。

学生借助动画软件，用小棒围一个长方形。

师：同学们真棒，很快就会利用软件来围长方形了。今天这节课，我们就借助这个动画软件来解决一些生活中的一些实际问题。

【思考】数字化学习“零障碍”“日常化”，一是要提升利用率，二是要降低应用门槛。前课，教师利用Flash软件为学生量身定制的学习工具，具有操作简便、画面精致、交互性强的特点，降低了使用的难度且富有吸引力。将软件的使用培训巧妙地融入到游戏体验环节，在激发学习兴趣的同时，又掌握了软件的使用技巧，大大降低了新技术支撑教学的难度。

二、解决问题，感悟策略

1.理解题意，明确方向

师：王大叔是一个花农，想用木栅栏围一个长方形花圃，可他遇到困难了！同学们，你们想不想去帮帮他？（出示例1，学生读题）

启发：根据题中的条件和问题，你想到了什么？

生₁：围成的长方形的周长都是22米。

生₂：用22根1米长的木栅栏可以围成几种大小不同的长方形。

生₃：这些长方形的长和宽都是整米数。

生₄：长和宽的和是11米。

2.初步尝试，明确方法

提出要求：你能借助刚才的动画软件，试着先围出一种符合要求的长方形吗？

学生应用动画软件，操作画图，初步探究。

教师巡视，选择典型例子，推屏共享交流。

师：能说说你们都是怎样围的吗？怎样判断围出的长方形是否符合要求？

生₁：首先把周长除以2，长加宽的和为11米，这样，长6根，宽11根就可以了。

生_2： 数一数，是不是一共用了22根小棒。

启发思考：刚刚，同学们大都找到了一个符合题意的长方形，那是不是就可以解决这个问题了呢？（不能）你准备怎样找出这个面积最大的长方形？

生：把所有符合题意的长方形都列举出来，计算面积，再找到其中面积最大的长方形。

3.深入探究，感悟策略

?      布置学习任务

（1）列一列：用自己喜欢方式，尝试列举出所有符合题意的长方形，并记录数据。

（2）想一想：边列边思考，解决问题中有什么新思考、新发现。

（3）议一议：将实验结果在小组内交流。

学生进行操作实验。其中少部分学生一直采用画图的方式列举，大多数学生选择先“围一围”，再填表列举，也有一部分学生会直接填表列举出结果。

教师巡视，翻看学生实验操作的过程记录，对有困难的学生进行针对性指导，选择部分学生的列举情况进行推屏交流

 学生的操作过程都被记录下来，可随时翻看

?      组织活动交流

师：同学们，你们列举出了几种不同的长方形？是怎样列举的呢。我们来看这一位同学。同屏呈现：

教师利用同步录频软件，播放一位同学的列举视频：画二个长方形后，就没有再继续画，而是填表列举全部类型。

　  师：我们来听听他的想法。

生：先是摆了一下，后来发现长＋宽=11米，这样就只要列出（  ）+（  ）=11就可以。

师：这位同学的想法，其实代表了很多同学的思考，先实验再尝试推理，填表解决问题。

    师：还有部分同学直接填表列出了结果，我们来看。教师同时呈现三张表格。

师：这些同学是怎样列举的，你最喜欢哪种？为什么，对其他的有什么建议。

生₁：我更喜欢第三种，把所有情况都列举出来了。而且没有少。第一种其实也很好，就是有点乱，第二种肯定少了，没有顺序。

生₂：第一种在列的时候，应该首先把11拆成10和1，这样才有序。

生₃：列举的时候，我觉得要先定从什么开始，我就先定长，从最长的开始。

教师追问：为什么不再列举下去。

生₁：长要比宽长，如果长是5，宽是6，这样就不对了。

生₂：这样就和刚才的重复了，围出来是同一种长方形。

总结：通过刚才的列举过程，你有什么感受与经验可以与同学们分享。

生：列举中要注意顺序，一个一个列，这样才不重复、不遗漏。（板书：有序 不重复 不遗漏）

师：请刚才没能有序列举的同学，重新列举，感受一下有序列举对解决此类问题的优势。

学生修订并再次感受过程。

提问：现在你能快速说出用22根小棒围成哪样的长方形面积最大了吗？再仔细观察围成的各种长方形的长、宽及面积，你又有什么新的发现？

生：在周长相等的情况下，长和宽相差越小时，长方形的面积最大。

?      回顾思考，提炼策略

师：回顾刚才解决问题的过程，你有什么体会？

生₁：解决这个实际问题时，由于存在多种符合题意的情况，我们就要将所有符合题意的情况一个一个的全部列举出来，才能准确地解决这一实际问题。

生₂：在列举时，我们要进行有序地列举，这样才能做到不重复、不遗漏。

生₃：只有在所有情况都列举出来了，我们才能进行对比，从而准确地找到答案。

师：同学说的都不错！当我们以后遇到类似的问题，需要我们将所有符合题意的情况全部找出来才能得出正确答案时，我们就可以像刚才那样，一个一个有序地将符合题意的情况列举出来，再通过比较寻求正确的答案。这也是一种解决问题的策略，我们称之为“一一列举”。（完成板书：解决问题的策略——一一列举）

【思考】 本环节，突出了数字化学习的优势。其一，便捷性：一般教学中，学生是通过摆小棒的操作实践逐步感悟策略。但使用小棒有局限及不便之处，准备起来费时费力，操作结果也不方便交流汇报。采用数字化手段，将摆小棒的活动设计成交互性的动画软件，为教学活动提供了更多的便利和支撑。其二，可视化：通常教师要有敏锐地资源意识，收集学习资源，然后呈现由学生或教师评述，这时的分析，更多的是基于结果的分析。而应用数字平台，软件可将学生摆放的每次情况都记录下来，教师端可查看所有学生的完成情况，交流时可回放摆放记录，及时还原学生思维的轨迹，更方便教师有针对性的评析和指导，也有利于学生更好地体悟一一列举的策略。第三，数字学习软件比摆小棒更直观，可操作性更强，学习引导中，填表与画图的融合，极易引发学生基于操作的简单推理。

4.变式练习，深化理解

出示问题：如果用12根1米长的木条靠墙围成一个长方形花圃，一共有几种不同的围法？怎样围面积最大？

    师：这个问题，又怎样理解，如何解决呢？

生：这个问题可以用一一列举的策略来解决。

?        布置学习任务：

（1）做一做：理解问题，独立思考，尝试用列举的策略解决问题。如果有困难，可以点帮助，观看微视频分析。

（2）比一比：这个问题与前面问题的解决促，有什么相同与不同。

（3）说一说：小组内说一说自己的想法，形成小组意见。

师：当然，同学们也可以借助动画软件，围一围，先可直接填一填，独立解决这一问题。

学生操作活动，独立解决问题。

组织交流，教师选择并推屏显示部分学生的解答过程：

师：能说说你们是怎样解决这个问题的吗？在列举的过程中，你是怎样做到有序列举的？

（指名部分推屏的学生说说自己解决问题的过程）

师：与例题比较，有什么相同和不同之处？

师：你对他们的解答过程有什么想说的？

（重点引导学生点评：问题是否被顺利解决？解决问题时，策略运用是否得当？在列举时是否能做到有序地列举？）

【思考】 理解应用，不仅仅是进行简单相同情境问题的重复练习。因此，设计了一个情境相同但在思维难度上又高于例题的实际问题，以此作为过渡。一方面让学生借助刚刚学习的经验尝试解决问题，进一步体会一一列举策略。另一方面，通过与例题对比，使学生更深层次地体悟所学的策略，有逻辑的思考，增强分析问题的条理性和严密性。同时，借助微视频等学习方式，为不同层次学生提供有差异学习的机会，让每人学生都参与到问题解决的过程中。

三、练习巩固，强化策略

1.练一练：

出示题目（选择题）：一个音乐闹钟，每隔一段相等的时间就发出铃声。已经知道上午9:00、9:40、10:20和11:00发出铃声，那么下面哪些时间也会发出铃声？

学生在平板上独立解答，系统自动评价。

师：我们来了解一下完成情况。同学们大都回答正确。

教师呈现二、三位学生的解决问题过程，并请其他学生进行点评。

2.想想做做：

出示题目：下面各题能用一一列举的策略解决吗？

    ①小丽邮寄一份材料，贴了以下四枚邮票，她一共花了多少邮资？

    ②小芳也有下面四枚邮票，用这些邮票能付多少种不同的邮资？

?        练习要求：

（1）做：借助动画软件，选择自己喜欢的方式列举解决问题。

（2）看：提交后，观看其他同学的解决过程与结果，为其点赞并修改。

（3）想：你是怎样应用一一列举策略的，有什么好的经验分享。

师：老师截取了部分赞较多的同学的练习。我们来看一下。

师：说说你是怎样用一一列举的策略解决这个问题的？在列举的时候，你又有哪些新的体会？

教师小结：当一个问题比较复杂时，我们可以先进行分类，然后再进行有序列举。

【思考】 这个环节，应用数字化手段，突出了二个功能。一是数据的智能分析，教师把主要精力放在思考过程的分析上；二是分享交流，打破传统的只能看教师呈现的局限，每个学生都能自评与他评，提升学习积极性。

四、全课小结，课外延伸

师：同学们，通过刚才的学习活动，你有哪些收获？你知道哪样一类的实际问题可以用一一列举的策略解决了吗？在列举时，我们又要注意些什么呢？

（学生交流收获...）

师：看来同学们收获还是挺丰富的！课后啊，老师还为同学们精心设计了一组在线自主测试题，同学们可以扫描我们的二维码获取相关的测试题并进行练习。

【思考】课堂教学时间有限，很难做到让每个学生都全面掌握相关知识。但是，借助数字化手段，可以使学生的个性化学习与深度学习得以向课外延伸，让不同的学生在原有基础上获得不一样的学习提升。在本例中，我们借助Storyline这一款在线课件的开发工具，为学生设计了层次不同的在线练习题。学生在任何时间、任何地点，只需打开相应的在线课件，就能选择适合自己的习题进行有针对性的练习了。每一题在练习之后，课件都会根据学生的解答过程给出相应的评价信息以及一些解题的帮助信息，让每位学生都能获得不同程度的提高。如果将这些在线课件架设在学习管理系统（LMS）之上的话，系统还能根据学生的练习情况，更加智能的为不同的学生推送更适切的练习题，使之能取得更加有效的练习效果！在新技术的支撑下，学生的深度学习得以有效实现！